勾配定理の証明 - eselenの Roundabout Way

前に示した∬pn↑dS=∫∫∫∇pdVの証明を示しておきます．また，この証明の手法はよく見るので他の例も合わせて示しておきます．

次の式を証明する．

${\displaystyle \iint_S p \mathbf{n}dS = \iiint_V \nabla {p} dV }$

${\displaystyle\mathbf{C}}$ をある一定のベクトル， $\displaystyle\varphi$ をスカラーとして次のような積分を考える．

$\displaystyle \mathbf{C} \cdot \iint_S \varphi \mathbf{n} dS \dotsb(1)$

(1)式はガウスの発散定理より次のように書き換えられる．

$\displaystyle \begin{align} \mathbf{C} \cdot \iint_S \varphi \mathbf{n} dS &= \iiint_V \nabla \cdot (\varphi \mathbf{C}) dV \notag \\ &= \iiint_V (\nabla\varphi \cdot \mathbf{C} + \varphi \nabla \cdot \mathbf{C}) dV \notag \\ &= \iiint_V \nabla \varphi \cdot \mathbf{C} dV \dotsb (2) \end{align}$

したがって(2)式より次の関係が成り立つ．

$\displaystyle \mathbf{C} \cdot \iint_S \varphi \mathbf{n} dS = \mathbf{C} \cdot \iiint_V \nabla \varphi dV$

ガウスの勾配定理の証明をすることができた．
他にも定ベクトルを用いてこのような式の証明をすることができる．たとえば，

$\displaystyle \iiint_V \mathrm{rot}\mathbf{K} dV = \iint_S\mathbf{n} \times \mathbf{K} dS$

は，ガウスの発散定理
$\displaystyle \iiint_V \mathrm{div}\mathbf{A} dV = \iint_S \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} dS$

で $\displaystyle\mathbf{A}$ を $\mathbf{A}=\mathbf{K} \times \mathbf{C}$ と置いて得られる

$\displaystyle \begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{K} \times \mathbf{C}) &= \mathbf{C} \cdot \mathrm{rot} \mathbf{K} - \mathbf{K} \cdot \mathrm{rot} \mathbf{C} \notag \\ &= \mathbf{C} \cdot \mathrm{rot} \mathbf{K}　\notag \end{align}$

の等式を用いることで証明することができる．

ブログでのTeXは慣れていないのでよくわからないですけど頑張って書きました．