球Bessel関数

球Bessel関数を

\[j_l(x) = \sqrt{ \frac{\pi}{2x} } J_{l+ \frac{1}{2}}(x)
\]

で定義する．ただしここではBessel関数で次の無限級数であらわされる．

\[J_n(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^m} {m!(n+m)!} { \left(\frac{x}{2} \right) }^{n+2m}
\]

球Bessel関数の次の性質を証明することを考える．

\[ j_l(x) = (-x)^l {\left(\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)}^l \left(\frac{\sin x}{x} \right)
\]

まず，関数を次のように定義する．

\[ \varGamma(x) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} \,dt
\]

関数の性質として以下のことが部分積分法によりすぐに証明できる．

\[ x \varGamma(x) = \varGamma (x+1)
\]これより，
\[\varGamma(n+1) = n!
\]がわかる．

最初に次の等式を証明する．この式を(1)とする．
\begin{equation}
J_{\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac {2} {\pi x}} \sin x
\end{equation}
[証明]
Bessel関数は関数を使って次のように表すことが可能．
\[ J_{\frac{1}{2}}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^m} {m! \varGamma(m+ \frac{3}{2})} {\left(\frac{x}{2} \right)}^{2m+\frac{x}{2}}
\]
関数の倍数公式によって
\begin{align}
\varGamma(m+\frac{3}{2}) &= \frac {\varGamma(2m+3)} {\varGamma(m+2)} \frac {\sqrt{\pi}} {2^{2m+2}} \notag \\
&= \frac {(2m+2)! \sqrt{\pi}} {2^{2m+2} (m+1)!} \notag
\end{align}
とできるのでの式に代入して，
\begin{align}
J_{\frac{1}{2}} &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1} \notag \\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x \notag
\end{align}
これより(1)式の証明ができた．

次に以下の等式を証明する．これを(2)式とする．
\begin{equation}
x^{-(\xi+n)}J_{\xi+n}(x) = (-1)^n {\left[ \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right]}^n \{x^{-\xi} J_\xi (x) \}
\end{equation}
[証明]

Bessel関数の加法定理
\[ J_n(x+y) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} J_m(x) J_{n-m}(y)
\]
を項別微分して次の結果を得ることができる．
\[ 2{J_\xi}'(x) = J_{\xi-1}(x) - J_{\xi+1}(x)(x)
\]
これより
\begin{align}
x^{-(\xi+1)}J_{\xi+1}(x) &= \xi x^{-(\xi+2)}J_\xi(x) - x^{-(\xi+1)}J_\xi'(x) \notag \\
&=-\frac{1}{x} \frac{d}{dx} [x^{-\xi}J_\xi(x)] \notag
\end{align}

→としてやって，
\begin{align}
x^{-(\xi+2)}J_{\xi+2}(x) &= (\xi+1)x^{-(\xi+3)}J_{\xi+1}(x) - x^{-(\xi+2)}J_{\xi+1}'(x) \notag \\
&=(-1)^2 {\left(\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)}^2 \left[x^{-\xi}J_\xi(x) \right] \notag
\end{align}
この操作を繰り返して(2)式が証明される．

(2)式より，
\[ J_{l+\frac{1}{2}}(x) = x^{l+\frac{1}{2}} (-1)^l {\left(\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)}^l [x^{-\frac{1}{2}} J_{\frac{1}{2}}(x)]
\]
(1)式の結果を代入して，
\[
J_{l+\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac{2x}{\pi}} (-x)^l {\left(\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)}^l \left[\frac{\sin x}{x} \right]
\]
これを球Bessel関数の定義式に代入すれば，
\[ j_l(x) = (-x)^l {\left(\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)}^l \left(\frac{\sin x}{x} \right)
\]
が得られる．

数式書く練習に書いてみました．
間違っているかもしれません．Neumann関数を使って表す球ベッセル関数もこのようにして三角関数で表すことができると思います．