変分法と電磁気学 - eselenの Roundabout Way

次のV内の積分
\[ I = {\iiint}_V \left[\left({\dfrac{\partial \phi}{\partial x}}\right)^2+\left({\dfrac{\partial \phi}{\partial y}}\right)^2+ \left({\dfrac{\partial \phi}{\partial z}}\right)^2\right]dx dy dz
\]
を極小にする関数 $\displaystyle{\phi}$ を求める．
積分内の式は $\displaystyle{(x,y,z,{\phi}_x,{\phi}_y,{\phi}_z)}$ の関数で(ただし $\displaystyle{\phi}$ の $\displaystyle{x}$ での偏微分を $\displaystyle{{\phi}_x}$ と表した)，変分法を使って求めてみる．
積分内の関数を $\displaystyle{f(x,y,z,{\phi}_x,{\phi}_y,{\phi}_z)}$ とすると独立変数が3つで，このときのオイラー方程式を求めてみると，
\[ \dfrac{\partial \ }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial {\phi}_x}\right)+ \dfrac{\partial \ }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial {\phi}_y}\right)+ \dfrac{\partial \ }{\partial z} \left(\dfrac{\partial f}{\partial {\phi}_z}\right) = 0
\]
ここに $\displaystyle{f(x,y,z,{\phi}_x,{\phi}_y,{\phi}_z) = \left({\dfrac{\partial \phi}{\partial x}}\right)^2+ \left({\dfrac{\partial \phi}{\partial y}}\right)^2+ \left({\dfrac{\partial \phi}{\partial z}}\right)^2}$ を代入してやると，次のような式を得る．
\[ \dfrac{{\partial}^2 \phi}{\partial x^2}+ \dfrac{{\partial}^2 \phi}{\partial y^2}+\dfrac{{\partial}^2 \phi}{\partial z^2}
=0
\]
さて，この偏微分方程式を解けば求めたい関数 $\displaystyle{\phi}$ が得られることがわかった．すこし電磁気学との関連を調べてみる．

はじめの積分の式において $\displaystyle{\phi}$ を静電ポテンシャルとすれば，それは電場のエネルギーを表していることになる( $\displaystyle{\dfrac{1}{2}\varepsilon}$ の係数は，現れていないが，それは定数のため今は特に考える必要がない)．
そう考えるとこの問題は電場のエネルギーを小さくするための静電ポテンシャル $\displaystyle{\phi}$ が満たす方程式は何かという問題になる．ところで得られた結果はラプラス方程式である．すなわち電場のエネルギーを最小にするときには，考えている領域Vに電荷密度は存在しないことがわかった．