準線形1階偏微分方程式

1階偏微分方程式には，線形と準線形という区別がされる(非線形とは別)．線形は，未知関数とその偏導関数について一次式である場合で，準線形とは最高階の偏導関数について一次式であるような偏微分方程式のこと．結構ややこしい．
物理に現れる偏微分方程式はだいたい2階であることは経験的にわかりますね．ここでは簡単な準線形の1階偏微分方程式を特性方程式を使って一般解を求めてみます．
\displaystyle{u=u(x,y)}として，
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy
\]
特性方程式は，
\[ \frac{dx}{x} = \dfrac{dy}{y} = \frac{du}{2xy} = d\alpha
\]
(\displaystyle{\alpha}ではなく\displaystyle{\sigma}を使いたいけど，数式内になんか表示されない．．．)
これを解いて得られる解曲線は
\[ x = x_0 e^{\alpha} \ \ y = y_0 e^{\alpha} \ \ u=x_0 y_0 e^{2\alpha} + u_0
\]
なお\displaystyle{x_0,y_0,u_0}は定数である．
初期曲線は\displaystyle{s}をパラメータとして，
\[x_0 = 1 \ \ y_0 = s \ \ u_0 = g(s)
\]
ここで\displaystyle{g(s)}は任意関数．
これより特性曲線は\displaystyle{\alpha,s}を用いて表せる．
\[ x = e^{\alpha} \ \ y = se^{\alpha} \ \ u = se^{2\alpha} + g(s)
\]
上の式のうち，最初の2式から，
\[ x = e^{\alpha}\ \ \frac{y}{x} = s
\]
より，これを\displaystyle{u = se^{2\alpha} + g(s)}に代入すれば一般解
\[ u(x,y) = xy + g(\frac{y}{x})
\]
を得ます．

解法の着想が幾何学的なので少しトリッキーな印象です．